На главную страницу

Возврат к головоломкам

Узелок 7

   Задача. Стакан лимонада, 3 бутерброда и 7 бисквитов стоят 1 шиллинг 2 пенса. Стакан лимонада, 4 бутерброда и 10 бисквитов стоят 1 шиллинг 5 пенсов. Найти, сколько стоят: 1) стакан лимонада, бутерброд и бисквит; 2) 2 стакана лимонада, 3 бутерброда и 5 бисквитов.
   Ответ. 1) 8 пенсов; 2) 1. шиллинг 7 пенсов.
   Решение. Эту задачу лучше всего решать алгебраически. Пусть х - стоимость (в пенсах) одного стакана лимонада, у - стоимость бутерброда и z - бисквита. Тогда по усло-вию задачи, х + 3у + 7z = 14 и х + 4у + 10z = 17. Требуется вычислить, чему равны х + y + z и 2х + Зу + 5z. Располагая лишь двумя уравнениями, мы не можем найти значения каждого из трех неизвестных в отдельности, но вычислить значения некоторых комбинаций неизвестных в наших силах. Известно также, что с помощью двух данных уравнений мы можем исключить два из трех неизвестных, после чего искомые выражения будут зависеть лишь от одного неизвестного. Значения искомых выражении могут быть вычислены лишь в том случае, если единственное неизвестное, оставшееся неисключенным, само собой уничтожается. В противном случае задача не имеет решения.
   Исключим лимонад и бутерброды и сведем все к бисквитам - ситуации еще более удручающей, нежели та, о которой говорится в проникновенных строках:

"Ну, скажи на милость,
Кто бы думать мог?
Все вдруг превратилось
В яблочный пирог".
   Для этого вычтем первое уравнение из второго, исключив тем самым лимонад, и получим у + Зz = 3. Подставляя у = 3 - Зz в первое уравнение, найдем: х - 2z = 5, или, что то же, х = 5 + 2z. Если теперь мы подставим выра-жения для х и у в те выражения, значения которых нам необходимо вычислить, то первое из них превратится в (5+2z) + (3-Зz) + z = 8, а второе - в 2(5 + 2z) + 3(3 - Зz) + 5z = 19. Следовательно, стоимость первого набора составляет 8 пенсов, а второго - 1 шиллинг 7 пенсов.
   Изложенный нами метод универсален. Иными словами, он абсолютно во всех случаях позволяет либо получить ответ, либо доказать, что решения не существует. Разумеется, следовать ему отнюдь не обязательно. Искомые величины можно, например, найти, комбинируя величины, значения которых известны. Такой способ решения требует лишь остроумия и известного "везения". Я не могу оценивать его столь же высоко, как и универсальный метод, поскольку он не гарантирует от неудач даже в том случае, когда решение существует, и оказывается совершенно бесполезным, когда требуется доказать, что задача не имеет решения. Кроме того, составление нужных комбинаций, даже если оно и приводит к успеху, может оказаться до-вольно утомительным занятием.
   Здесь мне хочется остановиться подробно на разборе одного из присланных решений, принадлежащего читателю, скрывающемуся под псевдонимом Бальбус, ибо речь пойдет о вещах, достаточно важных для всех читателей.
   Бальбус решил считать стоимость любого завтрака окончательно установленной лишь в том случае, если "два разных предположения приводят к одинаковой сумме" (израсходованной на завтрак). Приняв два предположения - согласно первому бутерброд ничего не стоит, согласно второму - бисквит выдается в виде бесплатного приложения к лимонаду и бутербродам (если бы хоть одно из этих предположений соответствовало действительности, в кондитерскую нельзя было бы пробиться!), Бальбус получает, что завтрак Клары стоил 8 пенсов, а завтрак старушек - 19 пенсов независимо от принятой гипотезы. Отсюда в соответствии со своим правилом Бальбус заключил, что "обнаруженное совпадение доказывает правильность полученных результатов". Я опровергну правило Бальбуса, указав всего лишь один пример, в котором это правило нарушается. Для того чтобы опровергнуть любое утверждение, одного противоречащего примера вполне достаточно. Если воспользоваться специальной логической терминологией, то можно сказать, что для опровержения общеутвердительного суждения достаточно опровергнуть противоположное ему частноотрицательное суждение. (Здесь необходимо остановиться и совершить небольшой экскурс в логику вообще и в женскую логику в частности. Общеутвердительное суждение "Все говорят, что такой-то и такой-то - мокрая курица" мгновенно опровергается доказательством истинности частноотрицательного суждения "Питер говорит, что такой-то и такой-то - гусь лапчатый", эквивалентного суждению "Питер не говорит, что такой-то и такой-то - мокрая курица". Общеотрицательное суждение "Никто не бывает у нее" великолепно парируется частноутвердительным суждением "Я был у нее вчера". Короче говоря, любое из двух противоположных суждений опровергает другое. Отсюда мораль: поскольку доказать частное суждение гораздо легче, чем общее, в разговоре с дамой разумно ограничивать собственные высказывания частными суждениями, предоставляя своей собеседнице доказывать, если это в ее силах, общие суждения. Тем самым вы всегда сможете обеспечить себе логическую победу. Особенно рассчитывать на то, что вам практически удастся одержать верх над вашей собеседницей, не следует, поскольку она всегда может отступить, сделав обескураживающее заявление: "Это к делу не относится!" Ни одному мужчине еще не удавалось удовлетворительным образом парировать подобный ход. А теперь вернемся к Бальбусу.) Частноотрицательное суждение, на котором я хочу проверить его правило, можно сформулировать так. Предположим, что два счета за завтрак гласят: "2 булочки с изюмом, 1 пирожок, 2 сосиски и бутылка лимонада. Итого: 1 шиллинг 9 пенсов" и "1 булочка с изюмом, 2 пирожка, 1 сосиска и бутылка лимонада. Итого: 1 шиллинг 4 пенса". Предположим также, что Клара заказала себе на завтрак 3 булочки с изюмом, 1 пирожок, 1 сосиску и 2 бутылки лимонада, а две сестры-старушки довольствовались 8 булочками с изюмом, 4 пирожками, 2 сосисками и 6 бутылками лимонада (бедняжки, как им захотелось пить!). Если Бальбус любезно согласится испытать свое правило "двух разных предположений" на этом "суждении" и предположит сначала, что булочка с изюмом стоит 1 пенс, а пирожок 2 пенса, а затем - что булочка с изюмом и пирожок стоят по 3 пенса, то за первый счет ему придется "уплатить" 1 шиллинг 9 пенсов, а за второй - 4 шиллинга 10 пенсов независимо от предположения. Полное согласие результатов, скажет он, "доказывает их правильность". Между тем булочка с изюмом в действительности стоила 2 пенса, пирожок 3 пенса, сосиска 6 пенсов, а бутылка лимонада - 2 пенса. Поэтому третий завтрак обошелся Кларе в 1 шиллинг 7 пенсов, а ее умирающим от жажды приятельницам в 4 шиллинга 4 пенса!
   Я хотел бы процитировать и кратко прокомментировать еще одно замечание Бальбуса, ибо, как мне кажется, некоторые читатели могли бы извлечь из него мораль. Вот что он пишет: "В сущности безразлично, будем ли мы при решении данной задачи пользоваться словами и называть это арифметикой или прибегнем к буквам и символам и назовем его алгеброй". Оба определения (и арифметики, и алгебры) мне представляются неверными. Арифметический метод решения задачи является чисто синтетическим: от одного известного факта он переходит к другому до тех пор, пока желанная цель не будет достигнута. Алгебраический же метод решения по своей природе аналитический: он начинает с конца и, обозначив цель поиска условным символом, устремляется к началу и влечет за собой свою жертву-инкогнито до тех пор, пока не выходит на ослепительный свет известных фактов, срывает с нее маску и говорит: "Я тебя знаю!"
   Чтобы не быть голословным, приведу пример. Представьте себе, что к вам в дом забрался грабитель и, похитив какие-то, вещи, скрылся. Вы зовете на помощь дежурного полисмена. Отчет о дальнейших событиях в устах полисмена мог бы звучать, например, так:
   - Да, мэм, я видел, как какой-то верзила перелез через забор вашего сада, но от меня это было далековато и сразу схватить я его не мог. А что, думаю, если я побегу ему наперерез? И точно, только я выбежал на соседнюю улицу, гляжу - из-за угла на всех парах катит Билл Сайке собственной персоной. Я его цап за воротник:
   - Ага, голубчик, попался! Тебя-то мне и надо! Больше я ему ничего не сказал. А он мне в ответ:
   - Ладно, - говорит, - фараон, твоя взяла. Веди в участок, ничего не попишешь!
   Так действовал бы арифметический полисмен. А вот другой отчет о тех же событиях:
   - Вижу, кто-то бежит. Что делать? Пуститься за ним вслед? Не имеет смысла: больно далеко он ушел, все равно не догонишь. Вот я и решил осмотреть сад. Гляжу - на клумбе, где этот парень помял все ваши цветы, следы остались: такие, знаете, ясные, четкие отпечатки его ножищ. Пригляделся повнимательнее - так и есть: левый каблук везде отпечатался глубже, чем правый. Тут я и говорю себе: "Парень, что их оставил, должно быть, высокого роста и хром на левую ногу". Провел я рукой по стене в том месте, где он перелез, и вижу: на руке сажа. Я и подумал: "Где я мог видеть здоровенного парня, трубочиста, да к тому же хромого на левую ногу?" И тут меня как громом ударило: "Да ведь это же Билл Сайке!"
   Так действовал бы алгебраический полисмен - на мой взгляд, более интеллектуальный тип полисмена, чем первый.