Логика

    ch11.gif

    

Парадоксы о тех, кто всегда говорит правду, лжецах, крокодилах и брадобреях

    Трудно переоценить ту роль, которую логика играет не только в математике, но и всюду, где применяются дедуктивные умозаключения. Каково же было всеобщее удивление, когда выяснилось, что в самой логике в изобилии встречаются, казалось бы, безупречные рассуждения, которые тем не менее приводят к явному противоречию. Использовать такое рассуждение -- все равно что сначала доказать равенство 2+2=4, а потом привести не менее убедительное доказательство неравенства 2+6!=4. В каком случае логика "не срабатывает"? Не таятся ли роковые пробелы в самом процессе дедуктивного мышления?

    Гигантские успехи современной логики и теории множеств -- прямой результат усилий, приложенных к разрешению классических парадоксов. Не один год безуспешно бился над решением такого рода проблем Бертран Рассел, прежде чем в соавторстве с Альфредом Нортом Уайтхедом написал фундаментальный труд Principia Mathematica ("Основания математики"), в котором излагались единые основы современной логики и математики.

    Парадоксы не только ставят вопросы, но и отвечают на них. Среди вопросов, на которые парадоксы дают ответ в этой главе, назовем следующие:

    1) Существуют ли ситуации, в которых логически невозможно правильно предсказать будущее событие?

    2) Почему в теории множеств обычно запрещается строить множества, которые могут содержать себя в качестве элементов?

    3) Почему, когда мы говорим о языке, необходимо проводить различие между языком, о котором мы говорим (нашим объектным языком), и языком, на котором мы говорим (нашим метаязыком)?

    Для парадоксов, отвечающих на эти вопросы, характерны косвенные признаки порочного круга в рассуждениях или ссылки на себя. В логике ссылка на себя либо приводит к крушению теории, либо обогащает ее и придает ей особый интерес. Проблема состоит в том, чтобы найти такие формулировки наших теорий, которые допускают их обогащение, но исключают все возможности, приводящие к противоречию. Придумывание парадоксов -- верный способ проверки того, насколько правильно установлены пределы применимости наших логических идей.

    Не следует думать, будто все парадоксы современной логики разрешены. В действительности дело обстоит далеко не так. Иммануил Кант однажды опрометчиво заметил, будто логика достигла столь полного развития, что о ней невозможно сказать ничего нового. Но логика, известная во времена Канта, составляет лишь незначительную и наиболее элементарную часть современной логики. В ней существуют гораздо более глубокие слои, по поводу которых продолжаются дискуссии между самыми выдающимися логиками современности, слои, в которых парадоксальные вопросы еще не получили ответов и многие вопросы еще предстоит сформулировать.


Оглавление книги | Содержание части | Следущая глава