Метаязыки


    Чтобы разрешить семантические парадоксы, используют специальный прием -- так называемые метаязыки. Утверждения об окружающем мире, например "Яблоки красные" или "Яблоки синие", делаются на объектном языке. Утверждения об истинностных значениях следует делать на метаязыке.

    ch134.gif

    В этом примере никакого парадокса нет и не может быть, так как утверждение А, записанное, по предположению, на метаязыке, относится к значению истинности утверждения В, записанного на объектном языке.

    ch135.gif

    А каким образом мы могли бы говорить о значениях истинности утверждений, записанных на метаязыке? Для этого нам пришлось бы подняться на еще одну ступень и ввести метаметаязык. Каждая ступень бесконечной лестницы является метаязыком по отношению к предыдущей ступени (расположенной ниже) и объектным языком по отношению к следующей ступени (расположенной выше).

    ch136.gif


    Понятие "метаязык" было введено польским математиком Альфредом Тарским. На нижней ступени лестницы находятся утверждения об объектах, например "У Марса две луны". Такие слова, как "истина" и "ложь", не входят в язык низшей ступени. Чтобы говорить об истинности или ложности утверждений, высказанных на языке низшей степени, мы должны воспользоваться метаязыком -- следующей, более высокой ступенью лестницы. Метаязык включает в себя весь объектный язык, но не исчерпывается им. Метаязык "богаче" объектного языка, поскольку позволяет говорить об истинности и ложности утверждений, записанных на объектном языке. Любимый пример Тарского: "Снег белый" -- утверждение из объектного языка, "Утверждение "Снег белый" истинно" -- утверждение из метаязыка.

    Можно ли говорить об истинности или ложности утверждений из метаязыка? Можно, но лишь поднявшись на третью ступень лестницы и говоря на более высоком метаязыке, позволяющем высказывать утверждения об истинности или ложности утверждений всех языков более низких ступеней.

    Каждая ступень лестницы является объектным языком по отношению к ступени, расположенной непосредственно над ней. Каждая ступень, за исключением самой нижней, является метаязыком по отношению к ступени, расположенной непосредственно под ней. Лестница простирается вверх сколь угодно далеко.

    Примеры утверждений на языках первых четырех ступеней.

    А. Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.

    В. Утверждение А истинно.

    С. Утверждение В истинно.

    D. Утверждение С истинно.

    Язык на уровне А позволяет формулировать теоремы о геометрических объектах. Геометрический текст, содержащий доказательства теорем, написан на метаязыке уровня В. Книги по теории доказательств написаны на языке уровня С. К счастью, математикам редко приходится подниматься выше уровня С.

    Теоретическая нескончаемость, или бесконечность, лестницы в занимательной форме рассмотрена в статье Льюиса Кэрролла "Что черепаха сказала Ахиллу" [Кэрролл Л. История с узелками. - М.: Мир, 1973, с. 368-372.].


Оглавление книги | Содержание части | Следущая глава