Лестница алефов


    Гостиница "Бесконечность" -- лишь один из многих парадоксов, связанных с бесконечностью. Существует много различных бесконечностей! Множество натуральных чисел -- самая "бедная" из бесконечностей, занимающая низшую ступень бесконечной иерархии. Вторая ступень соответствует бесконечности множества точек во Вселенной, а третья ступень -- еще большей бесконечности!

    ch263.gif

    Немецкий математик Георг Кантор, открывший лестницу бесконечностей, ввел для каждой ступени специальные обозначения: алеф-нуль, алеф-один, алеф-два и т.д.

    ch264.gif


    Кардинальное число множества -- это число элементов в нем. Например, кардинальное число множества букв слова "КОТ" равно 3. Любое конечное множество имеет конечное кардинальное число. Георг Кантор открыл, что одни бесконечные множества могут быть "больше" других. Кардинальные числа бесконечных множеств он обозначил первой буквой древнееврейского алфавита, которая называется "алеф" (Alef). Индекс у алефа указывает порядковый номер ступени в иерархии бесконечностей.

    Кардинальное число множества всех натуральных чисел (так называемого счетного множества) Кантор обозначил Alef0 (алеф-нуль). Множество всех четных чисел, так же как и множество всех нечетных чисел, имеет кардинальное число Alef0. Следовательно, Alef0 + Alef0 = Alef0. Парадокс с гостиницей "Бесконечность" показывает, что в некотором смысле справедливо и равенство Alef0 - Alef0 = Alef0. Как необычна арифметика кардинальных чисел!

    Бесконечное множество всех действительных чисел больше, чем множество целых чисел. Кантор считал, что оно имеет кардинальное число Alef1 (алеф-один) -- первое трансфинитное число, которое больше чем Alef0. С помощью своего знаменитого "диагонального процесса" Кантор доказал, что множество всех действительных чисел невозможно поставить во взаимнооднозначное соответствие с множеством целых чисел. Кроме того, Кантор установил взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством точек на любом отрезке прямой, на всей бесконечной прямой, множеством точек квадрата, плоскости, неограниченно простирающейся во все стороны, куба,бесконечного пространства, а также гиперкубов и пространств более высокой размерности.

    Кантор доказал также, что кардинальное число 2^Alef больше, чем Alef, то есть между множествами с кардинальными числами 2^Alef и Alef невозможно установить взаимно-однозначное соответствие. Следовательно, лестница алефов продолжается вверх нескончаемо.

    Математики говорят, что множество действительных чисел обладает "мощностью континуума", и обозначают его кардинальное число c. Кантор пытался доказать, что c = Alef1, но это ему так и не удалось. Через много десятилетий работами Курта Гёделя и Пола Коэна было установлено, что аксиомы обычной теории множеств не позволяют решить вопрос, интересовавший Кантора. Современная теория множеств делится на канторовскую и неканторовскую. Канторовская теория множеств предполагает, что c = Alef1. Неканторовская теория множеств считает, что между c и Alef1 заключено бесконечно много трансфинитных чисел.

    Знаменитая "гипотеза континуума" (как стали называть предположение Кантора) была решена сравнительно недавно, когда Коэн и другие математики доказали, что она неразрешима. Аналогичная ситуация возникла в геометрии после того, как было доказано, что постулат Евклида о параллельных нельзя вывести из других аксиом евклидовой геометрии. Этот постулат можно заменить другими, и в зависимости от того, какой постулат будет принят, геометрия делится на евклидову и неевклидову.


Оглавление книги | Содержание части