Тор наизнанку


    Топологию иногда называют геометрией на резиновой поверхности, так как она занимается изучением свойств, не изменяющихся при непрерывных деформациях (изгибании, растяжении или сжатии) фигур.

    ch332.gif

    Top -- замечательная поверхность, имеющая форму бублика. Должно быть, вы очень удивитесь, если вам скажут, что проделав в торе из тонкой резины дыру, можно вывернуть его наизнанку. Между тем это действительно возможно, хотя и весьма трудно.

    ch333.gif

    Предположим, что мы приклеили одну ленту вдоль параллели еще не вывернутого тора изнутри, а другую -- вдоль меридиана снаружи. Обе ленты не сцеплены.

    ch334.gif

    Вот как выглядит тор после того, как его вывернули наизнанку. Однако что это? Ленты теперь сцеплены! Но два кольца невозможно сцепить, не разрезая и не склеивая хотя бы одно из них. Что-то здесь не так! Что именно?

    ch335.gif


    Тор действительно можно вывернуть наизнанку через проделанное в нем отверстие, но ленты от этого не станут сцепленными. При выворачивании тора наружная и внутренняя ленты меняются местами. После того как тор вывернут наизнанку, малая лента (меридиан) растягивается в большую (параллель), а большая сжимается в малую. Ленты по-прежнему остаются несцепленными. Объясняется кажущийся парадокс неожиданно просто: художник нарисовал вывернутый тор так, как подсказывала ему интуиция, а не. так, как тот выглядит на самом деле.

    Резиновую модель тора, например велосипедную камеру, нелегко вывернуть наизнанку через дырочку, так как камеру при этом необходимо очень сильно растягивать. Гораздо легче вывернуть тор, сделанный из мягкой ткани. Сложите квадратный кусок ткани пополам и сшейте края так, чтобы получилась трубка. Согните трубку в кольцо и сшейте противоположные концы так, чтобы получился тор. В разглаженном виде такой тор будет иметь форму квадрата (сложенного в 4 раза исходного квадрата). "Дыру" следует прорезать по горизонтали в верхнем слое ткани, тогда вывернуть тор будет особенно легко.

    Итак, вывернем тор наизнанку через прорезь. Размеры его от этого не изменятся, но прорезь из горизонтальной превратится в вертикальную. Рисунок ткани, если таковой имеется, также повернется на 90°. Иначе говоря, при выворачивании параллели тора превратятся в меридианы, а меридианы -- в параллели. Чтобы своими глазами убедиться в этом, начертите одним цветом параллель, а другим -- меридиан. После выворачивания тора наизнанку обе окружности поменяются местами.

    Наглядно представить себе все этапы деформации тора при выворачивании его наизнанку нелегко. Рисунки, изображающие один за другим все этапы этой операции, приведены в статье Альберта Такера и Герберта Бейли "Топология" в Scientific American за январь 1950 г,

    С тором связано много других парадоксов. Пусть, например, тор с дырой сцеплен с тором без дыры. Может ли один из торов "проглотить" другой так, чтобы тот оказался целиком внутри него? Оказывается, может. Подробности приведены в моей статье, опубликованной в мартовском номере журнала Scientific American за 1977 г. Другие парадоксы, связанные с торами, вы найдете в моих статьях, опубликованных в том же журнале в декабре 1972 г, (о заузленных торах) и в декабре 1979 г.


Оглавление книги | Содержание части | Следущая глава