Чудо-коса


    Венди решила купить себе кожаный браслет.

    ch336.gif

    В магазине ей понравились два браслета. Каждый из них был сделан из трех ремешков: один сплетен из ремешков, другой -- гладкий.

    Венди. Сколько стоит плетеный браслет?

    Люк. Пять долларов, мадам, но, к сожалению, он уже продан.

    ch337.gif

    Венди. Какая жалость! А нет ли у вас еще одного такого браслета?

    ch338.gif

    Люк. Есть, вот он перед вами.

    Венди. Да, но ведь этот браслет не плетеный, а гладкий.

    Люк. С удовольствием заплету его для вас.

    ch339.gif

    Хотя в это трудно поверить, Люк сплел браслет за полминуты, не разрезав ни одного ремешка! Вот как он начал.

    ch340.gif


    Самое удивительное в плетеном браслете, который так понравился Венди, -- это то, что "косу" можно заплести даже в том случае, если концы "прядей" скреплены с двух сторон. Иначе говоря, плетеный браслет топологически эквивалентен гладкому. Последовательные этапы плетения браслета изображены ниже. Ремешки в таком браслете перекрещиваются 6 раз. Удлиняя их, можно заплетать косы с любым числом перекрещиваний, кратным 6. Если вы захотите сплести себе браслет или пояс, замочите предварительно кожу в теплой воде, чтобы она стала мягче.

    Косы такого рода можно заплетать не только из трех, но и из большего числа прядей. Более подробно о таких косах рассказывается в статье А.Г. Шепперда "Косы, которые можно заплести из прядей, скрепленных с обоих концов" [Proceedings of the Royal Society, 1962, A265, pp. 229-244.]. См. также главу "Теория групп и косы" в моей книге "Математические головоломки и развлечения" [Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М.: Мир, 1971, с. 125-132.].

    ch341.gif

    Большинство людей видят в таком браслете лишь еще один топологический курьез. В действительности же речь идет о вещах несравненно более важных и интересных. Математик Эмиль Артин построил даже теорию кос, воспользовавшись для этого аппаратом теории групп.

    Элементом группы является схема переплетения прядей, операция состоит в последовательном плетении двух схем, а элементом обратным данной схеме, -- зеркально-симметричная схема. Косы служат великолепным введением в теорию групп и преобразований. (Элементарное введение в теорию кос можно найти в статье Артина "Теория кос" [The Mathematical Teacher, may 1959.].)


Оглавление книги | Содержание части | Следущая глава
Очень сложно сейчас купить кухонный нож хорошего качества. У нас есть несколько специально для тебя.