Патологическая кривая


    Эта извилистая ломаная, напоминающая по форме контур снежинки, не принадлежит к числу невозможных объектов, хотя и парадоксальна. Ее построение мы начнем с контура этой новогодней елки -- равностороннего треугольника.

    ch350.gif

    Разделив каждую сторону на 3 равные части, построим на каждой средней части равносторонний треугольник, лежащий снаружи от большого треугольника.

    ch351.gif

    С каждым из меньших треугольников проделаем ту же операцию: разделим их стороны на 3 равные части и на средних частях построим равносторонние треугольники. Длина ломаной при этом еще больше возрастет, а сама ломаная станет похожа на шестиугольную снежинку.

    ch352.gif

    С каждым разом ломаная будет становиться все длиннее и красивее.

    ch353.gif

    Продолжая построение, мы можем сделать ломаную сколь угодно длинной. Она может умещаться на почтовой марке и все же быть длиннее, чем расстояние от Земли до самой далекой звезды!

    ch354.gif


    Кривая-снежинка -- один из красивейших представителей бесконечного множества кривых, названных патологическими из-за своих парадоксальных свойств. При неограниченном увеличении числа звеньев длина ломаных в пределе стремится к бесконечности, хотя плошадь заключенного внутри ломаных участка плоскости остается конечной. Иначе говоря, если после очередного увеличения числа звеньев ломаной мы станем измерять ее длину и площадь ограничиваемого ею многоугольника, то последовательность длин окажется расходящейся, а последовательность площадей -- сходящейся к пределу, равному 8/5 от площади исходного равностороннего треугольника. К предельной кривой ни в одной точке невозможно провести касательную.

    Кривая-снежинка -- великолепный повод для того, чтобы освежить в вашей памяти все связанное с понятием предела. Можете ли вы доказать, что если площадь исходного равностороннего треугольника принять за единицу, то площадь части плоскости, заключенной внутри предельной кривой, равна 8/5?

    Вот несколько задач на построение, тесно связанных с кривой-снежинкой.

    1. Постройте кривую-антиснежинку: вычерчивая равносторонние треугольники, пристраивайте их не снаружи, а изнутри, после чего стирайте их основания. На первом этапе вы получите 3 ромба, соединенные в центре наподобие пропеллера. Имеет ли возникающая в пределе кривая-антиснежинка бесконечную длину? Конечна ли площадь ограничиваемой ею части плоскости?

    2. Что произойдет, если за исходную фигуру принять не равносторонний треугольник, а какой-нибудь другой правильный многоугольник?

    3. Что произойдет, если на каждой стороне строить по нескольку многоугольников?

    4. Существуют ли трехмерные аналоги кривой-снежинки и ее ближайших сородичей? Например, если на гранях тетраэдров строить тетраэдры, будет ли предельное тело иметь поверхность бесконечной площади? Будет ли его объем конечным?

    В статье о патологических кривых, опубликованной в декабрьском номере журнала Scientific American за 1976 г., я рассказал о парадоксальной кривой, открытой Уильямом Госпером и названной "кривой дракона". Другая замечательная кривая, открытая Бенуа Мандельбротом, украшает обложку апрельского номера того же журнала за 1978 г. Ей посвящена моя статья, опубликованная в этом номере журнала. О других патологических кривых, тесно связанных с кривой-снежинкой, рассказывается и в книге Мандельброта "Фрактальная геометрия природы".


Оглавление книги | Содержание части | Следущая глава