Принцип безразличия


    Есть ли жизнь на Титане, самом крупном из спутников Сатурна?

    ch456.gif

    Если на подобные вопросы вы с равной вероятностью отвечаете как утвердительно, таи и отрицательно, то это означает, что вы слепо следуете "принципу безразличия". Необдуманное применение этого принципа не раз заводило многих математиков, физиков и даже великих философов в тенета абсурда.

    ch457.gif


    "Принцип недостаточного основания", который экономист Джон Мейнард Кейнс в своем "Трактате по теории вероятностей" переименовал в "принцип безразличия", можно сформулировать следующим образом: если у нас нет веских причин считать нечто истинным или ложным, то это "нечто" мы с равной вероятностью можем считать как истинным, так я ложным.

    Принцип безразличия имеет долгую и славную историю. Его применяли в столь разных областях человеческого знания, как естествознание, этика, статистика, экономика, философия, психология. При неправильном применении этот принцип приводит к парадоксам и прямым логическим противоречиям. Французский астроном и математик Лаплас однажды, воспользовшись принципом безразличия, вычислил вероятность того, что завтра утром взойдет солнце, и получил 1826214:1!

    Посмотрим, какие противоречия возникают, если воспользоваться принципом безразличия при ответах на вопросы о жизни на Титане. Какова вероятность того, что на Титане есть жизнь? Применив принцип безразличия, мы получим, что эта вероятность равна

    1/2. Какова вероятность того, что на Титане нет простейших растений? И на этот вопрос принцип безразличия дает ответ: 1/2. Какова вероятность того, что на Титане нет простейших животных? Ответ снова гласит: 1/2. А какова вероятность того, что на Титане нет ни простейших растений, ни простейших животных? По законам теории вероятностей мы должны умножить 1/2 на 1/2 и получить 1/4. Следовательно, вероятность того, что на Титане есть какая-то жизнь, повысилась до 3/4 вопреки прежней оценке, равной 1/2.

    В приведенном выше примере к абсурдным результатам принцип безразличия приводит в сочетании с некоторым дополнительным допущением. Мы молчаливо предполагали, что события, заведомо не являющиеся независимыми, независимы. В свете теории эволюции вероятность существования разума на Титане зависит от существования на нем низших форм жизни.

    Приведем еще один поучительный пример неосторожного применения принципа безразличия -- парадокс со спрятанным кубом. Предположим, что вам сообщили: "В кладовке спрятан куб с длиной ребра от 2 до 4 см". Поскольку у вас нет оснований предполагать, что длина ребра куба меньше или больше 3 см, вам лучше всего принять ее равной 3 см. А каков объем спрятанного куба? Он должен быть заключен в пределах от 23=8 до 43=64 см3. Поскольку у вас нет оснований считать, что объем куба меньше или больше 36 см3, вам лучше всего принять его равным 36 см3. Иначе говоря, по вашим лучшим оценкам, ребро куба имеет длину 3 см, а объем куба составляет 36 см3. Странный какой-то куб, вы не находите? Иначе говоря, применив принцип безразличия к оценке длины ребра спрятанного куба, вы получаете куб с длиной ребра 3 см и с объемом 27 см3. Применив тот же принцип к оценке объема куба, вы получите куб объемом 36 см3 и длиной ребра, равной root[3](36) ~ 3,30 см.

    Парадокс с кубом -- хорошая модель для демонстрации того, с какими трудностями могут столкнуться физик или статистик, оценивая некую величину по ее максимуму и минимуму и считая, что истинное значение величины, вероятнее всего, лежит посредине между максимумом и минимумом.

    Принцип безразличия на вполне законном основании применяется в теории вероятностей, но лишь в тех случаях, когда симметрия ситуации служит объективным основанием для принятия гипотезы о равенстве вероятностей. Например, монета геометрически симметрична: между аверсом и реверсом монеты вы можете провести плоскость симметрии. Монета физически симметрична: ее плотность постоянна по всему объему, иначе говоря, ни лицевая, ни оборотная сторона не имеет перевеса. Силы, действующие на подброшенную монету в воздухе -- сила тяжести, давление воздуха и т. д., -- симметричны: они не выделяют ни одну из сторон. Следовательно, мы можем с полным основанием считать, что вероятности выпадения "орла" и "решки" равны. Аналогичные соображения симметрии применимы и к шести граням кубической игральной кости, и к 38 ямкам на колесе рулетки. В каждом из этих случаев обширные эксперименты, проводившиеся в игорных домах и казино, показали правильность и пределы применимости соображений симметрии. В тех случаях, когда симметрия заранее не известна и может даже не существовать, применение принципа безразличия нередко приводит к абсурдным результатам.


Оглавление книги | Содержание части