Резиновый канат

    Задача легко решается, если учесть, что канат растягивается равномерно, как резиновая лента. Следовательно, при каждом растяжении червяк переезжает вперед -- его переносит на себе, растягиваясь, сам канат.

    Путь, пройденный червяком за каждую секунду, удобно выражать в долях длины каната к концу той же секунды. Как только сумма дробей, выражающих эти доли, станет равной 1, червяк достигнет конца каната.

    В одном километре 100000 см, поэтому за первую секунду червяк преодолеет 1/100000 длины каната. За вторую секунду червяк проползет еще 1 см, что составляет 1/200000 от новой длины каната, которая достигнет уже 2 км. За третью секунду червяк проползает еще 1 см, что составляет 1/300000 от длины каната, которая к этому времени достигнет 3 км, и т. д. По истечении k секунд червяк проползет расстояние, составляющее от "текущей" длины каната долю, которая представима в виде

    В скобках стоит сумма первых k членов так называемого гармонического ряда. Заметим, что сумма членов, заключенных между 1/2 и 1/4, включая 1/4, то есть 1/3 + 1/4, больше, чем 2*1/4 = 1/2. Аналогично сумма членов, заключенных между 1/4 и 1/8, включая 1/8, то есть 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8, больше, чем 4*1/8 = 1/2. Следовательно, сумма членов ряда, заключенных между 1/1 и 1/(2^k), включая 1/(2^k), всегда больше, чем k*1/2 = k/2, в чем нетрудно убедиться, если члены сгруппировать: возьмите сначала сумму двух первых членов, затем сумму следующих восьми членов и т.д. Частная сумма членов гармонического ряда может быть сделана сколь угодно большой.

    Червяк доползет до конца каната, прежде чем с момента старта истекут 2^(200000) с. Более точная оценка составляет e^(100000), где e -- основание натуральных логарифмов (иррациональное число, чуть большее числа 2,7). Обе оценки дают представление о времени в пути (в с) и о пройденном червяком расстояния (в см).

    Точная формула частичной суммы членов гармонического ряда приведена, например, в статье Р.П. Боаса и Дж.М. Ренча "Частичные суммы гармонического ряда" [American Mathematical Monthly, October 1971, 78, pp. 864-870]. Когда червяк доползет до конца, длина каната будет во много раз превышать диаметр известной части Вселенной. На свой нелегкий путь червяк затратит время, которое во много раз превышает возраст Вселенной по оценкам современной космологии. Разумеется, в задаче речь идет об "идеализированном" червяке и "идеализированном" канате -- точке на прямой. Реальный червяк тихо скончался бы в самом начале путешествия, а реальный канат от растяжения стал бы таким тонким, что отдельные его молекулы оказались бы разделенными огромными пустыми промежутками.