Неторопливый король

Эта глава посвящена задачам и головоломкам с участием короля, который выделяется среди всех шахматных фигур своей неторопливостью — он может переступать только на соседние поля доски. Однако это свойство короля не мешает ему быть интересной фигурой с математической точки зрения.

В первой главе, при знакомстве с этюдом Рети (см. рис. 14), мы уже убедились в том, что геометрия шахматной доски заметно отличается от обычной, евклидовой геометрии. При этом необычное измерение расстояний на доске лучше всего иллюстрирует движущийся король. Приведем еще один пример на эту тему (рис. 46).

Рис. 46. И. Майзелис. Выигрыш.

В этом этюде пешка a7 беззащитна, и единственный шанс черных заключается в том, чтобы на неизбежное взятие Кр : a7 ответить Крc7, не выпуская неприятельского короля из заточения. Путь белого короля до пешки a7 занимает пять ходов, причем существует 30 способов взять эту пешку за столько ходов, но лишь один из них приводит к цели (см. рис. 46): 1. Крe6! Крc3 2. Крd5!! Белый король, как говорят шахматисты, "отталкивает плечом" своего черного оппонента; теперь тот не может пойти на d4, и это решает дело. 2...Крd3 3. Крc6 Крd4 4. Крb7 Крd5 5. Кр : a7 Крc6 6. Крb8, и пешка проходит в ферзи. Не годится, например, 1. Крe6 Крc3 2. Крd6 Крd4 3. Крc6 Крe5! 4, Крb7 Крd6 5. Кр : a7 Крc7 с ничьей.

Итак, у короля имеется много кратчайших путей между двумя полями доски. Для определения этого числа существует известный математический прием. Выясним, например, сколькими способами может добраться король с поля e1 до поля d8, двигаясь кратчайшим путем (т.е. путешествие занимает семь ходов). Очевидно, он может идти к цели любыми зигзагообразными маршрутами, лишь бы на каждом ходу переходить с одной горизонтали на другую и находиться в рамках прямоугольника e1-a5-d8-h4.

Для подсчета искомого числа путей составим таблицу чисел, которые будем помещать прямо на полях доски (рис. 47). Число, стоящее на данном поле; равно числу кратчайших путей до него с поля e1. На поля d2, e2 и f2 король может попасть кратчайшим путем (в один ход) единственным способом, и поэтому на них стоят единицы. По той же причине единицы стоят на полях c3 и g3. На d3 за два хода король попадает двумя способами (с полей d2 и e2, 1+1=2), а на e3 — тремя (с полей d2, e2 и f2, 1+1+1=3). В общем случае число кратчайших путей до данного поля складывается из одного, двух или трех чисел, стоящих на полях предыдущей горизонтали, с которых король попадает на данное поле в один ход. Пользуясь этой закономерностью, мы в конце концов заполним всю таблицу и получим, что с поля e1 до поля d8 король может добраться кратчайшим путем 357 способами. Полученная таблица носит название треугольника Паскаля (рис. 47).

Рис. 47. Треугольник Паскаля на шахматной доске.

Заполняя соответствующую таблицу, можно найти число кратчайших путей короля между любой парой полей. При этом доска может иметь произвольную форму и даже содержать запрещенные поля.

В предыдущей главе мы рассмотрели головоломку о неприкосновенном короле, в которой главная шахматная фигура играла весьма пассивную роль. Теперь мы приведем иную задачу — в ней все ходы, кроме заключительного, разрешается делать только королю (рис. 48).

Рис. 48. Выигрыш с неподвижной ладьей.

Эта задача иллюстрирует один из важнейших приемов в эндшпиле, который носит название оппозиции. После 1. Крg2! короли оказываются на одной вертикали, причем их разделяет нечетное число полей (пять), т.е. белые захватывают оппозицию. Если теперь черный король движется по линии "g", то оппозиция сохраняется — 1...Крg7 2. Крg3! (расстояние опять нечетно, три поля) 2...Крg6 3. Крg4! (одно поле). Итак, черные вынуждены покинуть вертикаль "g" — 3...Крh6 4. Крf5! До сих пор белый король не мог встать перед ладьей, так как черный король сразу вырывался на свободу через линию “f”. Теперь такая возможность появилась, и белые осуществляют обходной маневр.

4...Крg7 (увы, после 4...Крh5 ладье разрешается вступить в игру — 5. Лh1ґ) 5. Крg5! (вновь оппозиция завоевана) 5...Крh7 6. Крf6! Крg8 7. Крg6! Крh8 8. Лf8ґ (6...Крh8 7. Крf7 Крh7 8. Лh1ґ).

Перейдем к вопросу о путешествии короля на шахматной доске. Ясно, что его маршрут по всем полям доски занимает 63 хода (а замкнутый 64). При этом король может воспользоваться любым несамопересекающимся маршрутом ладьи или ферзя, но двигаться более медленным темпом. Интересна такая задача о путешествии короля.

Доказать, что замкнутый маршрут короля по всем полям доски (ни одно из полей не посещается дважды) содержит не меньше 28 "прямых" ходов (вдоль вертикали или горизонтали).

Очевидно, график указанного маршрута не имеет самопересечений (в противном случае, хотя бы через одно поле король проходит дважды). Приведем прежде всего маршрут, в котором король делает ровно 28 "прямых" ходов — рис. 49, а. Рассмотрим теперь произвольный замкнутый маршрут короля без самопересечений, и занумеруем все 28 крайних полей доски числами 1, 2, ..., 28 в том порядке, в каком король посещает их. Этот маршрут можно разбить на 28 участков: от первого крайнего поля до второго, от второго до третьего, и т.д., от поля 28 до первого.

Рис. 49. Задача о замкнутом маршруте короля.

Покажем, что начальное и конечное поля каждого участка являются соседними на границе доски (рис. 49, а). Предположим, противное: пусть крайние поля хотя бы одного из участков не соседние. Для участка, показанного на рис. 49, б, таковыми являются поля a7 и a4. Поскольку маршрут короля замкнут, то начальное поле и направление обхода можно выбрать произвольно. Будем считать, что маршрут начинается с поля a7 и идет к полю a4. Раз поля a7 и a4 не соседние, то рассматриваемый участок a7-a4 разбивает доску на две части. Возьмем два поля, принадлежащие разным частям, например, a6 и c1. Король должен побывать и на этих полях. При этом путь a6-c1 обязательно пересечет путь a7-a4. Таким образом, мы получили противоречие с тем, что маршрут короля не имеет самопересечений.

Итак, начальное и конечное поля каждого из наших 28 участков являются соседними на границе доски. Ввиду того, что эти поля имеют разный цвет, вдоль каждого из участков король делает хотя бы один “прямой” ход (при “диагональных” ходах цвет полей не меняется). Из этого и следует, что искомый маршрут содержит не менее 28 ходов вдоль вертикали или горизонтали. Поскольку король при желании может сделать все 64 хода “прямые”, то попутно мы выяснили следующее обстоятельство. Наименьшая длина замкнутого маршрута короля по всей доске равна 64, а наибольшая 28+36Ц2.

Король-самоубийца. На доске 1000ґ1000 находится белый король и 499 черных ладей. Доказать, что при произвольном начальном расположении этих фигур король за некоторое число ходов может встать под шах, как бы черные ни играли.

Пошлем короля сначала в левый нижний угол доски и затем по главной диагонали вправо вверх. После первого хода короля из угла (Крa1-b2) и ответного хода черных три нижние горизонтали и три левые вертикали должны быть свободны от ладей, иначе уже вторым ходом король встанет под шах. Таким образом, все ладьи находятся выше и правее короля. Пусть теперь король сделал еще 997 ходов по главной диагонали, и черные ответили на его последний ход. В этот момент ни одна из ладей не должна находиться на .трех верхних горизонталях и трех правых вертикалях. Иначе говоря, все ладьи расположены левее и ниже короля (иначе он следующим ходом добьется своей цели). Это означает, что к рассматриваемому моменту каждая ладья должна была сделать два хода, поменяв свою вертикаль и горизонталь до того, как на них появится король. Но ладей имеется 499 и за 997 ходов они не успевают переместиться — не хватает одного хода!

В предыдущей головоломке белый король стремился встать под шах, а неприятельские фигуры убегали от него. В следующей задаче цели обеих сторон совпадают.

Белый король стоит в левом нижнем углу, а черный конь в правом верхнем. Через сколько ходов король может получить шах на доске 100ґ100, на доске 1000ґ1000?

На обычной доске шах объявляется уже на третьем ходу: 1. Крb2 Кg6 2. Крc3 Кf4 3. Крd4 Кe6+. На больших досках сближение короля и коня, очевидно, затягивается. На доске 100ґ100 дело кончается шахом после 39. Кр(39, 39) К (41, 40)+, а на доске 1000ґ1000 после 399. Кр(399, 399) К (401, 400)+.

Следующий этюд (рис. 50) к математике непосредственного отношения не имеет, однако он просится а главу о короле. Дело в том, что это, возможно, единственное шахматное произведение, в котором белые представлены одним королем.

Рис. 50. Э. Погосянц. Ничья.

1. Крe2! Прямолинейное 1. Крc2 проигрывает, ввиду 1... Кe3+ и 2...Кd5, и черные спасают свою пешку. 1... Крd7. После 1... b3 2. Крd3 Кe3 3. Крc3 пешка теряется.

2. Крd3 Кe3! (отвлечение) 3. Кр : e3 Крc6 4. Крd3 Крb5 5. Крc2 Крa4 6. Крb2, и белый король, уничтожив коня, вовремя успел на положенное место.

Какое максимальное число королей можно расставить на доске так, чтобы они не угрожали друг другу, т.е. не стояли рядом?

Разобьем доску на 16 квадратов 2ґ2 (рис. 51, доска 8ґ8 выделена на нем). Если мы хотим, чтобы короли не касались друг друга, то, очевидно, в каждом из этих квадратов надо поместить не более одного из них. Это означает, что больше шестнадцати королей, удовлетворяющих условию задачи, расставить невозможно. Итак, максимальное число мирных королей равно 16 (рис. 51). Число способов, которыми можно расположить на шахматной доске 16 королей, не угрожающих друг другу, составляет 281571.

Рис. 51. Задача о мирных королях.

Обобщим последнюю задачу для доски nґn. Если n четно, то доска разбивается на n²/4 квадратов, и искомое число королей равно n²/4. При нечетных n доска разбивается на (n-1)²/4 квадратов 2ґ2, на каждый из которых можно поставить по королю; еще n королей умещается на границе доски, и всего получаем (n+1)²/4 мирных королей. Случай n=9 представлен на рис. 51, на доске стоят 25 королей. Если n представить в виде n=2k или n=2k-1, то искомое число мирных королей на доске nґn, независимо от четности n, записывается как k².

Последняя задача о королях решена также для тороидальной доски, получающейся из обычной квадратной доски при склеивании крайних вертикалей и одновременно крайних горизонталей. Если n четно, то ответ тот же, что и для обычной доски — n²/4, в частности, расстановка королей на доске 8ґ8 (см. рис. 51) проходит и для тороидальной доски — при склеивании краев обычной доски все короли по-прежнему будут находиться в отдалении друг от друга, Иначе обстоит дело при нечетных n. Например, при склеивании краев доски 9ґ9 (см. рис. 51) многие короли окажутся соседями — как стоящие на одной вертикали (a1 и a9 и т.д.), так и стоящие на одной горизонтали (a1 и i1 и т.д.). Можно показать что на нечетной, тороидальной доске nґn максимальное число не угрожающих друг другу королей равно (n²-n)/4, т.е. на доске 9ґ9 вместо 25 мирных королей умещается только 18. Искомая расстановка для этой доски показана на рис. 52, где все короли располагаются на полях, отдаленных друг от друга ходом коня. Нетрудно проверить, что при склеивании краев этой доски никакие два короля не становятся соседями.

Рис. 52. Короли на тороидальной доске.

Какое наименьшее число королей можно расставить на шахматной доске так, чтобы они нападали на все свободные поля доски?

В каждом из девяти прямоугольников, выделенных на рис. 53 (пять из них квадраты), имеется одно поле (на нем стоит король), которое может быть атаковано только королем, находящимся в этом же прямоугольнике. Следовательно, для того чтобы все свободные поля доски были под угрозой, в каждом из наших девяти прямоугольников должен стоять хотя бы один король. Число девять и является решением задачи для обычной доски.

Рис. 53. Задача о королях-часовых.

Для доски nґn задача также решается с помощью ее разбиения на квадраты 3ґ3 и граничные прямоугольники, содержащие остальные поля. В зависимости от остатка, который получается при делении числа n на 3, его можно представить одним из трех способов: n=3k, n=3k-1, n=3k-2. Оказывается, наименьшее число королей, которые держат под угрозой все свободные поля доски nґn, записывается очень просто — k². При n=8 имеем n=8=3·3-1 (см. второе представление для n), т.е. k=3, и k²=9 (см. рис. 53).

| Оглавление |