Сила фигур

Каждый шахматист знает, что сила фигуры - величина относительная и зависит от конкретной обстановки на доске. Легко придумать позицию, в которой одна пешка справляется со всей армией неприятельских фигур. Рассмотрим один изящный пример на эту тему (рис. 70). У черных здесь подавляющий материальный перевес, и все же белая пешка берет верх.

Рис. 70. Пешка против всей армии фигур.

1. Кр : e1 Фa1 (выбора нет) 2. h3! (пешка продвигается всего на одно поле, хитрость обнаружится позднее) 2...Фa2 3. h4 Фa1 4. h5 Фa2 5. h6 Фa1 6. h7 Фa2 7. h8К!! Единственная белая пешка даже не желает превращаться в ферзя; теперь новоявленный конь проходит по траектории 8-15. Кf7-e5-d7 : c5-e4-d6  : c4-a5 и, наконец, 16. Кa5  : b3ґ.

Мат оказался возможен благодаря тому, что белые проявили сдержанность на втором ходу и выиграли темп; в противном случае всякий раз, когда белый конь нападал на пешку b3, черный ферзь защищал бы ее с поля a2. Парадоксальных позиций, в которых материальное соотношение сил не играет никакой роли, можно привести сколько угодно: в то же время ясно, что фигуры отличаются друг от друга своей силой. Даже начинающий шахматист быстро усваивает, что ладья сильнее слона или коня, которые, в свою очередь, равноценны, причем каждую из этих фигур можно разменять на три пешки, ферзь намного превосходит любую фигуру и т.д. В шахматных учебниках можно найти различные шкалы оценок для силы фигур (за единицу обычно принимают силу пешки). Вот некоторые из них (через F(x) мы всюду обозначаем силу фигуры x):

F(п)=1,   F(К)=F(С)=3,   F(Л)=5,   F(Ф)=9;

или:

F(п)=1,   F(К)=3,   F(С)=3,5,   F(Л)=5,5,   F(Ф)=10;

или:

F(п)=1,   F(К)=F(С)=3,5,   F(Л)=5,   F(Ф)=10;

Все эти шкалы в достаточной степени соответствуют нашему представлению о силе фигур в шахматной игре. Так, например, в них отражено, что ладья в среднем равносильна легкой фигуре и двум пешкам, ферзя можно разменять за две ладьи или ладью, легкую фигуру и пешку и т.д. Позиционные факторы здесь, конечно, не учитываются.

Понятно, что шахматист во время игры при разменах и взятиях фигур автоматически сравнивает их силу и никаких арифметических действий не производит.

Что же касается ЭВМ, то она без информации о силе фигур просто не в состоянии играть. При выборе хода машина прежде всего складывает отдельно силы белых и черных фигур, и разность между полученными суммами служит основой для оценки позиций. Заметим, что последняя из указанных шкал используется экс-чемпионкой мира "Каиссой" в ответственных соревнованиях (см. главу 15).

Приведенные шкалы строятся эмпирически, на основе опыта шахматистов. Теперь мы рассмотрим один чисто математический подход к определению силы фигур, связанный с особенностями их передвижения.

Очевидно, фигура тем сильнее, чем большее число полей она держит под ударом. Число атакованных полей зависит от ее положения на доске, и для всех фигур, кроме пешки (которая ходит одним способом, а бьет - другим), совпадает с числом полей, достижимых из данного поля за один ход.

Подсчитывая число возможных ходов фигуры x с каждого поля доски и складывая эти числа, получаем общее число ходов S(x). Деля S(x) на число полей, доступных фигуре, получаем P(x) - ее подвижность. Выразить количественно силу фигуры x можно, деля P(x) на подвижность пешки P(п).

Найдем силу фигур на обычной доске, а затем перейдем к доске nґn. Начнем с короля. С угловых полей доски он может сделать по три хода, а с остальных крайних полей по пять. На внутренних полях доски в его распоряжении имеется восемь ходов (рис. 71, а). Суммируя, получаем общее число ходов короля на доске (рокировки для простоты не учитываются):

S(Кр)=3·4+5·24+8·36=420.

Аналогично для других фигур:

S(Ф)=21·28+23·20+25·12+27·4=1456;

S(Л)=14·64=896;

S(С)=7·28+9·20+11·12+13·4=560

(если считать отдельно подвижности белопольного и чернопольного слонов, то вместо последней формулы можно написать: S(С_б)=S(С_ч)=280;

S(К)=2·4+3·8+4·20+6·16+8·16=336;

S(п)=2·10+3·32+4·6=140.

Рис. 71. Сила фигур.

Для пешки считаем поля, на которые она может пойти без взятия, и поля, которые она держит под охраной (перемещаясь на них при взятии). Тот факт, что при достижении последней горизонтали она может превратиться в разные фигуры, мы сейчас во внимание не принимаем (см. рис. 71, б).

Наибольшее число ходов ферзь и слон могут сделать с полей центрального квадрата 2ґ2, конь - с полей квадрата 4ґ4, а для ладьи все поля равноценны.

Обозначим через R(x) число полей, на которых может находиться фигура x. Очевидно, для всех фигур, кроме пешки, R(x)=64, а R(п)=48 (пешки не стоят на крайних горизонталях); для разнопольных слонов имеем:

R(Сб)=R(Сч)=32.

Подвижность P(x) фигуры x мы определяем из следующей формулы:

P(x)=R(x)/S(x)

Вычислим подвижности всех фигур:

P(Ф)=22,75 » 23;

P(Л)=14;

P(С)=P(Сб)=P(Сч)=8,75 » 9;

P(Кр)=6,5625 » 7;

P(К)=5,25 » 5;

P(п) » 3.

По нашему предположению, сила шахматной фигуры прямо пропорциональна ее подвижности. Принимая силу пешки, как и раньше за единицу, силу фигуры x находим по формуле:

F(x)=P(x)/P(п).

В результате получаем следующую шкалу силы шахматных, фигур (значения округлены до десятых долей);

F(п)=1;   F(К)=1,7;   F(Кр)=2,5;

F(С)=F(Сб)=F(Сч)=3;   F(Л)=4,7;

F(Ф)=7,7.

Здесь у нас впервые появился король, отсутствовавший в предыдущих шкалах. Конечно, это самая важная фигура намного ценнее остальных, и потеря ее означает просто-напросто, что король получил мат (при создании шахматной программы в качестве силы короля обычно выбирается очень большое число). Однако в смысле подвижности найденная оценка вполне разумна.

В построенной шкале можно обнаружить определенные расхождения с практикой. Бросается в глаза, в частности, слишком большое превосходство ферзя, ладьи и слона над конем. Дело в том, что здесь не учтено, что в шахматной партии действия дальнобойных фигур (в отличие от коня) почти всегда ограничены другими фигурами, как своими, так и неприятельскими, и их реальная подвижность уменьшается (яркой иллюстрацией служит позиция, изображенная на рис. 70). Вычисление силы фигур мы проводили в несколько искусственной ситуации, считая, что на доске нет других фигур. Правильно было бы подсчитывать число ходов данной фигуры, занимающей данное поле для .каждой дислокации белых и черных фигур на остальных полях доски. Разумеется, такой подсчет вызвал бы огромные трудности.

Предлагаемый математический подход к оценке силы фигур позволяет рассматривать различные обобщения и придумывать интересные задачи. Найдем подвижности P_n(x) на доске nґn. Для этого нам надо подсчитать число ходов S_n(x) фигуры x на доске nґn и разделить его на R_n(x).

Начнем снова с короля. С четырех угловых полей он имеет по 3 хода, с остальных 4(n-2) крайних полей - по 5 ходов и с (n-2)² внутренних полей доски - по 8 ходов. Суммируя, находим:

Sn(Кр)=4(n-1)(2n-1).

Ладья на каждом из n² полей доски имеет в распоряжении 2(n-1) ходов, и поэтому

Sn(Л)=2n2(n-1).

Формулы для остальных фигур приведем без выводов:

Sn(К)=8(n-1)(n-2),

Sn(п)=(n-1)(3n-4)    (для n і 4),

Sn(С)= 2 3 n(n-1)(2n-1).

Если n четно, то

Sn(Сб)=Sn(Сч)=Sn(С),

а если n нечетно, то суммарные числа ходов белопольного и чернопольного слонов отличаются друг от друга. Считая, что черных полей на доске больше, имеем:

Sn(Сб)= 1 3 (2n-3)(n2-1),

Sn(Сч)= 1 3 (n-1)(2n2-n+3).

Поскольку ферзь ходит, как ладья и слон, получаем:

Sn(Ф)=Sn(Л)+Sn(С)= 2 3 n(n-1)(5n-1).

Для всех фигур, кроме пешки, R_n(x)=n², а R_n(п)=n(n-2). Пользуясь формулами P_n(x)=S_n(x)/R_n(x) и F_n(x)=P_n(x)/P_n(п), легко найти подвижность и силу всех фигур на доске nґn. Однако мы не станем производить эту' простую операцию.

Выясним теперь, как меняется подвижность фигур при неограниченном увеличении размеров доски nґn (n®Ґ), иначе говоря, не бесконечной доске. Подвижность фигуры x на этой доске обозначим через P_Ґ (x), для ее нахождения достаточно вычислить соответствующий предел. Для фигур с ограниченным перемещением по доске - коня, короля и пешки имеем:

PҐ (Кр)= lim n®Ґ  Pn(Кр) = lim n®Ґ  4 (n-1)(2n-1) n2 =8,

PҐ К=8,   PҐ (п)=3.

Движения ферзя, ладьи и слона ограничены только размерами доски и поэтому их подвижности при n®Ґ неограниченно возрастают. Нетрудно получить следующие приближенные формулы:

Pn(Ф) » 10n/3,   Pn(Л)=2n,   Pn(С) » 4n/3.

Из них вытекает, что подвижности и силы дальнобойных фигур, соответственно ферзя, ладьи и слона, при больших значениях n находятся приблизительно в отношении 5:3:2.

Рассмотренный подход дает возможность проводить обобщения не только для необычных досок, но и для необычных фигур. Например, можно определить силу магараджи (М), который ходит как ферзь и конь (см. главу 12), пользуясь тем, что F(М)=F(Ф)+F(С). Интерес представляют и обратные задачи, в которых требуется найти размер доски по заданным соотношениям между силами фигур. Рассмотрим, например, задачу с участием кентавра, эта сказочная фигура ходит одновременно как конь и слон.

По нашей шкале на обычной доске ладья и кентавр равны по силе. Существуют ли другие доски, на которых эти фигуры имеют одну и ту же силу?

Очевидно, для ответа на этот вопрос достаточно решить уравнение относительно n:

Fn(Л)=Fn(С)+Fn(К).

Как нетрудно видеть, оно сводится к квадратному и имеет два корня: n=3 и n=8. Таким образом, кроме обычной доски, ладья и кентавр равносильны на доске 3ґ3.

Аналогично, решая уравнение F_n(Кр)=F_n(С), можно получить, что король и слон равносильны на доске 6ґ6 (уравнение имеет один корень n=6).

Выведенные формулы позволяют также решать задачи, которые не связаны непосредственно с силой фигур.

Сколькими способами можно поставить на доске двух ферзей так, чтобы они не угрожали друг другу?

Каждому расположению пары ферзей на одной линии соответствуют два их х"ода (с одного из этих полей на другое). Отсюда следует, что число расстановок двух атакующих друг друга ферзей (обозначим его через t) равно половине всех возможных ходов ферзя, т.е. t=S_n(Ф)/2. Поскольку существует C²_n² способов поставить двух ферзей на доске nґn, для искомого числа A_n имеем:

An=C2n2-t=C2n2-Sn(Ф)/2=n2(n2-1)/2-n(n-1)(5n-1/3)=n(n-1)(n-2)(3n-1)/6,

что для n=8 дает 1288 расстановок.

Для трех ферзей получаются очень громоздкие формулы, а для большего числа ферзей последняя задача вообще не решена.

Подобным задачам (ферзей в них можно заменить другими фигурами) легко придать вероятностный характер.

На два случайно выбранных поля доски nґn ставятся два ферзя. Какова вероятность того, что они не будут угрожать друг другу?

Очевидно, искомая вероятность P_n равна отношению числа A_n, найденному в предыдущей задаче, к общему числу расстановок двух ферзей на доске nґn;

Pn= An C2n2 = (n-2)(3n-1) 3n(n+1) ,

что для обычной доски дает приблизительно 2/3.

На три поля доски nґn случайным образом ставят двух разнопольных белых слонов и черного короля. При каких n вероятность того, что король окажется под шахом, равна 0,5?

Пусть n четно. Тогда число возможных расположений трех наших фигур равно T₁=[1/2]n²·[1/2]n²(n²-2). Каждому расположению слона и короля, находящегося под его шахом, можно поставить в соответствие ход этого слона со своего поля на поле с королем. Таким образом, число способов, которыми можно поставить слона и короля (под шахом), равно S_n(С). Если учесть, что при фиксированном положении этих фигур второго слона можно поставить на любое из n²/2 полей другого цвета, то получаем, что число расположений короля и двух неприятельских слонов, один из которых объявляет шах, равно

T2=Sn(С)n2/2=n3(n-1)(2n-1)/3.

Решая уравнение T₂/T₁=0,5, находим единственное решение n=4. Так как в аналогичном уравнении для нечетных n решений нет, то искомой является лишь доска размером 4ґ4.

| Оглавление |