[an error occurred while processing this directive] Рассылка - 6 выпуск [an error occurred while processing this directive] Предисловие
Числа ФридманаЗдравствуйте, любители интеллектуального досуга!
Я вернулся, но не надолго, поэтому следующего выпуска ждать придется снова долго.
Я забыл дать пароль для PDF-файла с тестовыми заданиями для "USA puzzle team", которую я положил на сайте, придется исправлять свою ошибку сейчас: пароль - practice.
Теоретические основыСегодня выпуск посвящен числам Фридмана. Эрих Фридман - профессор математики в Стетсонском университете и достаточно известный головоломщик, специалист в области головоломок, связанных с оптимальной упаковкой геометрических объектов.
Задания-головоломкиЧислами Фридмана называются такие числа, которые можно записать нетривиальным путем, используя все цифры, входящие в число, операции + - * / ^ и сочленения цифр (сочленение цифр m и n, есть число mn, то есть число m*10+n), входящих в число.
Так числа 25 и 126 будут являться числами Фридмана потому, что 25=5:2, а 126=6*21. Число 25 - единственное двузначное число Фридмана, трехзначных чисел больше - их тринадцать: 121, 125, 126, 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736.
Углубленный анализ1. Попробуйте объяснить, почему данные числа являются числами Фридманами. Это не так просто, как кажется!
2. Найдите четырехзначные числа Фридмана. А это задание уже и вовсе непростое.
3. А как насчет чисел более высоких порядков? Ответа на это задание я и сам не знаю %-)
Теорема 1: Существует сколько угодно длинная цепочка последовательных чисел Фридмана.
Доказательство: Числа с 25*102n по 25*102n+10n-1 - это 10n чисел Фридмана. Например, 25*104+68 = 250068 = (500)2+68
Следствие 1: Существует бесконечно много чисел Фридмана, являющихся палиндромами. (Палиндром - это число/слово/текст читающееся справа налево и слева направо одинаково)
Следствие 2: Существует числа Фридмана, оканчивающиеся на любую цепочку цифр.
Теорема 2: Существует бесконечное количество чисел, не являющихся числами Фридмана.
Доказательство: числа вида 10n не являются числами Фридмана.
Теорема 3: Существуют числа Фридмана, начинающиеся с любой цепочки цифр.
Доказательство: Число k*1030+131072 будет являться числом Фридмана при любом положительном числе k. Например, в случае с k=68: 68000000000000000000000000131072 = 68*1030+217+0+0+. . .+0.
Теорема 4: Существует бесконечное множество чисел Фридмана, состоящих из повторяющихся цифр.
Доказательство: Число с одиннадцатью или более единицами является числом Фридмана. Например, 1111111111111 = 1 * ((11-1)11+1+1-1) / (11-1-1).
Теорема 5: При n>60 между n и 2*n есть хотя бы одно число Фридмана.
Доказательство: Если рассматривается промежуток до числа 688 (то есть n<344), то одно из чисел приведенных в самом начале войдет в этот промежуток. Если же рассматривается промежуток с большим верхним пределом, то можно воспользоваться следующим правилом: к любому из чисел Фридмана: 688 (= 8*86), 1206 (= 6*201), 1827 (= 21*87), 3159 (= 9*351) и 3784 (= 8*473) справа можно дописать ноль, при этом полученное число также будет являться числом Фридмана (Например, 68800=8*8600). Полученные в результате числа Фридмана будут покрывать промежуток от 688 до бесконечности.
Теорема 6: Существует бесконечное множество простых чисел Фридмана. (Простое число - это число, которое делится без остатка только на 1 и самого себя).
Доказательство Рона Камински (Ron Kaminsky): Числа k*1014+19683 = k*106+8+39+0+0+... являются числами Фридмана для любого k. Числа этого вида, являются арифметической последовательностью вида a*n+b, где a и b - взаимно простые, а, следовательно, по известной теореме Дирихле, последовательность содержит бесконечное количество простых чисел.
Гипотеза 1: Если k - не степень 10, то существует число N(k) такое, что kn - это число Фридмана для всех n>N(k).
Гипотеза 2: Если F(n) - это количество чисел Фридмана, меньших или равных n, то F(n) / n --> 1.
До встречи!
Чтобы увидеть ответы на этот выпуск, нажмите здесь.
[an error occurred while processing this directive]