На главную страницу

Возврат к головоломкам

Имеются первые 44 натуральных числа. Мы выбираем случайно 6 чисел (не переставляя их местами, т.е. они идут в порядке возрастания) В скольких шестерках (из всех возможных) будут несколько последовательных чисел? Какая вероятность выбрать такую шестерку?
    Пример:
  (5,7,11,18,25,33) - шестерка без последовательных чисел.
  (5,10,11,20,25,44) - два последовательных числа (...10, 11, ...).

Ответ: Прежде всего заметим, что формула y_i=x_i-(i-1), i=1..6 задает биекцию между множествами:
X = { (x_1,...,x_6) | 1<=x_1 Y = { (y_1,...,y_6) | 1<=y_1<=y_2<=...<=y_6<=39 }
    Их мощности
|X| = C(44,6) (число сочетаний)
|Y| = CC(39,6) (число сочетаний с повторениями)
очевидно равны.
    Тот факт, что в шестерке (x_1,...,x_6) нет последовательных чисел равносилен тому, что в соответствующей ей шестерке (y_1,...,y_6) нет равных чисел. Число таких шестерок, очевидно, равно C(39,6). А число шестерок, в которых присутствуют последовательные числа, соответственно будет равно C(44,6)-C(39,6).
    Таким образом, искомая вероятность равна 1 - C(39,6)/C(44,6) = 1 - 3262623/7059052 = 41719/77572 ~= 0.53781

предоставление хостинга