Имеется 2N пронумерованных монет, причем: все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые также весят одинаково, фальшивая монета легче настоящей. монеты с номерами от 1 до N настоящие, а монеты с номерами от N+1 до 2N - фальшивые. Из этих двух утверждений судья знает только первое, а эксперт - оба.
  Как эксперту за три взвешивания на чашечных весах без гирь убедить судью в справедливости второго утверждения?
      a: N=7
      b: N=9
  Задача "a" предлагалась на одной из Всесоюзных мат. олимпиад в 1970-х годах. С тех пор число N=7 (и в общем случае, N=2^K-1 для K взвешиваний) считалось не улучшаемым. И тем не менее, это не так. Улучшение (задача "b") придумано С. Токаревым в 1997 году.

Ответ: a) 1) Эксперт взвешивает монеты 1 и 8. (1 > 8)
Судья убеждается, что 8 - фальшивая.
2) Эксперт взвешивает 1+8 и 9+10. (1+8 > 9+10)
Судья убеждается, что 9+10 легче, чем одна фальшивая и одна настоящая. Следовательно, он заключает, что и 9, и 10 - фальшивые.
3) Эксперт взвешивает 1+8+9+10 и 11+12+13+14.
Аналогично, судья может сделать вывод о всех монетах 11-14. Заметим, что настоящая монета нужна ровно одна.
b) Предварительное действие: эксперт группирует монеты в такие три кучки: А (1, 2; 10, 11); Б (3, 4, 5; 12, 13, 14); В (6, 7, 8, 9; 15, 16, 17, 18); В каждой кучке поровну настоящих и фальшивых монет, эксперту это известно, а судье будет доказано в результате взвешиваний.
1) На левую чашку весов кладутся настоящие монеты из кучки А и фальшивые из кучки Б, а на правую - фальшивые из кучки А и настоящие из кучки Б. Правая чашка тяжелее левой.
2) На левую чашку весов кладутся настоящие монеты из кучки Б и фальшивые из кучки В, а на правую - фальшивые из кучки Б и настоящие из кучки В. Правая чашка тяжелее левой.
3) На левую чашку весов кладутся настоящие монеты из кучки В и фальшивые из кучек А и Б, а на правую - фальшивые из кучки В и настоящие из кучек А и Б. Правая чашка тяжелее левой.
  Обозначим x разность весов настоящих и фальшивых монет кучки A, т.е. (1+2) -(10+11), y - то же для кучки Б, то есть (3+4+5)-(12+13+14), z - (6+7+8+9)-(15+16+17+18).
  Наши взвешивания доказали судье следующие три неравенства:
      y > x; z > y; x+y > z.
  Поскольку x,y,z - целые числа, то строгие неравенства можно заменить на нестрогие:
      y >= x+1
      z >= y+1
      x+y >= z+1.
  Отсюда: x+y >= y+2 => x >= 2;
      x+y >= x+3 => y >= 3;
      2z >= x+y+3 >= z+4 => z >= 4.
  С другой стороны, очевидно, что разность между K настоящими монетами и K неизвестными монетами не может быть больше, чем K, причем равенство бывает только тогда, когда все неизвестные монеты - фальшивые. Это и доказывает судье все что надо...
  Заметим, что и в этом случае 9 настоящих монет не нужно! А сколько их нужно на самом деле? Подумайте...
  Еще более интересная задача - для четырех взвешиваний. Алгоритм из задачи а) дает возможность эксперту доказать фальшивость 15 монет. Обобщение алгоритма Токарева позволяет улучшить эту оценку до 27.